转贴：有关椭圆的计算
2011-03-29 09:33:13| 分类：
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椭圆定理（又名：椭圆猜想）
椭圆定理
易亚苏
（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。）
圆是完美的和谐，椭圆是和谐的完美。
一、椭圆第一定义
椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a＞F1F2
（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。）
M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a＞b＞0；2c表示焦距。
二、椭圆定理
（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）
椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）
（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）
定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a＞b＞0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）
椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b＞c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；
2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；
3、当椭圆b＜c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b为半径的圆外。
定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a^2=b^2+c^2，且a＞b＞0，则有 ：b^2+c^2=1（椭圆单位）
当b=c时，2b^2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。
定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。
椭圆定理Ⅲ：椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。当椭圆b＞c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b＜c时，椭圆离心率（e）大于椭圆第三常数（K3），椭圆向心率（f）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向内收缩型。
三、椭圆周长、面积计算公式和定理
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。
“牛顿定律”从“开普勒定律”来，“开普勒定律”从椭圆中来。了解椭圆是科学新的开始，更是进一步深入研究宇宙的开始……
注：后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表（略）
2006年8月16日星期三深夜于武汉家中
椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导
易亚苏
（本短文为论文《椭圆的奥秘》第一部分《椭圆里的数学》节选。）
椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，一个为体，一个为用。
一、椭圆周长、面积计算公式
根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a＞b＞0。
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程
（一）发现椭圆常数
常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。
椭圆的周长取值范围：4a＜L＜2πa （1）
椭圆周长猜想：L=(2πa-4a)T （2）
T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：
4a＜(2πa-4a)T＜2πa （3）
根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：
4a/(2πa-4a) ＜T＜2πa /(2πa-4a) （4）
简化表达式（4）：
2/(π-2)＜T＜π/(π-2)
定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)
计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：
K1＝1.75193839388411…… K2＝2.75193839388411……
椭圆第二常数：K2=K1+1
椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。
（二）椭圆周长公式推导
长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a 。根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0＜f＜1的范围。
K1+f＜K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。
定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：
L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f)
=2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)
椭圆周长计算公式： L=2πb+4(a-b)
（三）椭圆面积公式推导
椭圆面积的取值范围：0＜S＜πa^2 （5）
（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。如：上式中πa^2为π乘a的二次方。）
椭圆面积猜想：S=πa^2T （6）
T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得：
0＜πa^2T＜πa^2 （7）
根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa^2，则有：0＜T＜1。可得：
S=πa^2T=πa^2(K+f) （8）
在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：
S=πa^2b/a=πab
椭圆面积计算公式：S=πab
2006年8月25日星期五于武汉家中。
（可惜不是完整格式版）
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